Page 246 - Khoa Sư Phạm | Kỷ yếu hoạt động khoa học Khoa Sư phạm 2016 - 2020

 A B   ( B ; Tích phân ánh xạ đa trị có một số tính

)
A
Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập chất được chứng minh trong (Aumann,
trong K 1965; Moore et al., 2009).
C

D : K  K    0,  xác định bởi 3.2. Tính chất thừa số khoảng hằng
C
C


B
A
D ( , ) max  | a b |,| a b  | , của tích phân hàm khoảng
Cho hàm khoảng ( )f x   f  ( ), ( ) x f x và

trong đó A   ,a a B  ,   , b b   . a b ; , b  . . Tính chất sau đây của tích

a
Người ta chứng minh được ( K , D) là phân hàm khoảng đã được chứng minh
C
không gian metric đầy đủ (Chalco-Cano trong (Moore et al., 2009) cho trường
et al., 2013; Lakshmikantham et al., hợp tổng quát là ánh xạ đa trị.
2006; Stefanini & Bede, 2009; b b


x
Stefanini, 2008).  kf ( )dx k f ( ) ,k  x d x . (3.2)
a a
Định nghĩa 3.2. (Stefanini & Bede, Trong bài này chúng tôi chứng minh
2009; Stefanini, 2008) tính chất này cho trường hợp k   , k k  là
a) Ta gọi  
f :[ , ] a b K C , ( )  f x  f  ( ), ( ) x f x là ánh xạ một khoảng hằng như sau

b
b


x
x
khoảng. Trong đó f ( ) (chặn dưới hay  kf ( )dx k f ( ) ,k  x d x K C (3.3)
a a
mút dưới) và f ( )(chặn trên hay mút Ta có tích .k f    , k k   ,  min ,maxSS ,
x
. f f  
 
trên) của ( )f x là hai hàm thực thỏa mãn
trong đó  k f ,k f ,k f ,k  f .
S

a
b
f ( )  f ( ), x [ , ].
x
x
Để chứng minh ta xét các trường hợp
b) Hàm ( )f x gọi là liên tục tại điểm x của hàm ( )f x  f  ( ), ( ) x f x là
0
nếu   0,     0 sao cho  thỏa mãn  
x
 f   0,x 

x x  0  ta có  ( ), ( )D f x f x 0   .
Hàm khoảng ( )f x liên tục tại x khi và  f   0x 
0
x
x
chỉ khi các hàm f ( ) , f ( ) liên tục tại  f   0x   f   x

x . Tương tự hàm thực, ta có khái niệm  f   0x   f   x
0
x
hàm khoảng f ( ) liên tục trên đoạn  f   0x   f   x
[ , ]. thỏa mãn với x  [ , ].
b
a
a
b
Định nghĩa 3.3. (Chalco-Cano et al., Về thừa số khoảng k   , k k  cũng được


2013; Stefanini & Bede, 2009; chia thành các trường hợp sau
Stefanini, 2008)  k 
Tích phân hàm khoảng f ( ) trên 0
x
 k 
0
[ , ] được xác định như sau
a
b

 k  0 k
b  b b 
 f ( )dx   f ( ) , f ( )dx (3.1)  k  0 k


x
d
x
x
x

a a  a 

Đây là trường hợp đặc biệt của tích phân  k  0 k
của ánh xạ đa trị được đưa ra lần đầu bởi Để chứng minh (3.3), ta xét các
Aumann năm 1965. trường hợp vừa nêu ở trên của ( )f x và k
và tính toán hai vế của (3.3), sau đó kết