Page 248 - Khoa Sư Phạm | Kỷ yếu hoạt động khoa học Khoa Sư phạm 2016 - 2020

 b b  b  b b 
 


  k f   x dx k f x dx   k f ( )dx    , k k     f   x dx , f   x dx 
,
x
 a a  a a  a 
 b b   b b 
 
 



  k f   x dx k f x dx   k f   x dx k f x dx  
,
,
a  a   a a 
b b
  kf ( ) .   kf ( ) .
dx
x
dx
x
a a

Trƣờng hợp 3.   0f x   f  ,x Trường hợp 3.3. Nếu k  0 k thì


 x [ , ]. . k f   min  k f ,k f  ,max k f ,k  f . Khi đó
b
a
 
Ta cũng xét các trường hợp của k như ở Tích k.f có 4 trường hợp sau
trên.  k f  k  , f k f 
.
Trường hợp 3.1. Nếu k  thì  
0
 k f  k  , f k f 
.
. k f   k  , f k f   . Khi đó vế trái  
.
b b  k f   k  , f k f  
 

 
x
kf ( )dx     k f  ,x k f x dx
.
a a  k f   k  , f k f  
 b b  Ta lần lượt xét các trường hợp này.
 


  k f   x dx k f x dx
,
a  a  Trường hợp 3.3.1. .k f   k  , f k f  
 b b 
 

  k f   x dx k f x dx   . Với .k f   k  , f k f   . Ta có,
,
 a a 
Tính vế phải (3.3) min  k f ,k  f  k f nên k f  k f  0 suy ra
b  b b  b b b
( )k f x dx    , k k     f   x dx ,   f  x dx   k f   x dx   k f ( )dx  x  0dx
a a  a  a a a
 b b  b b
 

  k f   x dx k f x dx   hay k f x dx k f     ( )dx  x 0.
,
 a a  a a
b Và  k f ,k  f  k f nên 0 k f  k f suy ra
max
  kf ( ) .
x
d
x
a b b b
Trường hợp 3.2. Nếu k  thì  a 0dx   a k f ( )dx  x  a k f   x dx .
0

. k f   k  , f k f   . Khi đó vế trái b b .


x
b b Hay 0 k f  a ( )dx k f   x dx
a
 
x
kf ( )dx     k f  ,x k f x    dx
a a Do đó
 b b  b b
 
 

x
  k f   x dx k f x dx  kf ( )dx     k f  ,x k f x    dx
,
a  a  a a
 b b   b b 
 

 

  k f   x dx k f x dx   .   k f   x dx k f x dx 
,
,
 a a  a  a 

Vế phải (3.3) bằng  b b 
 

  k f   x dx k f x dx   .
,
 a a 
Mặt khác tính vế phải của (3.3) và kết
luận