Page 247 - Khoa Sư Phạm | Kỷ yếu hoạt động khoa học Khoa Sư phạm 2016 - 2020

luận bằng nhau. Có 5 trường hợp của  b b   

,
x
f ( ) và 5 trường hợp của k, như vậy có   a  k f   x dx k f x dx  
a
25 trường hợp cần chứng minh. Sau đây b
d
x
x
ta chứng minh một số trường hợp, các   kf ( ) .
a
trường hợp còn lại chứng minh tương Trƣờng hợp 2.   0,f x  x  [ , ].
b
a
tự. 0
Trường hợp 2.1. Nếu k  thì
Trƣờng hợp 1.   0,f x  x  [ , ].
a
b
k 
. k f 

Trường hợp 1.1. Nếu k  thì , f k f   . Khi đó
0
b b
 

 
. k f   k  , f k f   . Khi đó kf ( )dx     k f  ,x k f x dx
x
a a
b b
 
b
kf ( )dx     k f  ,x k f x    dx   b k f   x dx k f x dx  
x
 
,
a a  a   a 
 b b  b b

  k f x , k f x    k f   x dx k f x dx   
 dx
 dx
 

,
a  a    a a 
 b b  b
 


  k f   x dx k f x dx    k f ( )dx .
,
x
 a a  a
b Trường hợp 2.2. Nếu k  thì
0

 k f ( ) .
x
d
x
a . k f   k  , f k f   . Khi đó
Trường hợp 1.2. Nếu k  thì b b
0
 

 
x
kf ( )dx     k f  ,x k f x dx
. k f 
  k  , f k f  . Khi đó a a
b b  b b 
 

 
 
,

kf ( )dx     k f  ,x k f x dx   k f   x dx k f x dx 
x
a a a  a 
 b b   b b 
 

 

  k f   x dx k f x dx    k f   x dx k f x dx  
,
,
a  a   a a 
 b b  b

 

x
dx
 
  k f   x dx k f x dx  k f ( ) .
,
 a a  a

b Trường hợp 2.3. Nếu k  0 k thì

 k f ( ) .
dx
x
a . k f   k  , f k f   . Khi đó vế trái

Trường hợp 1.3. Nếu k  0 k thì b b
 

 
x
kf ( )dx     k f  ,x k f x dx
. k f   k  , f k f   . Khi đó a a
b b  b b 
 

 
 

,
kf ( )dx     k f  ,x k f x dx   k f   x dx k f x dx  .
x

a a a  a 
 b b  Tính vế phải (3.3)
 

  k f   x dx k f x dx  .
,
b
b
a  a  k f ( )dx   , k k     b f   x dx , f   x dx  

x
Tính vế phải (3.3) a   a  a 
b  b b 

k f ( )dx    , k k     f   x dx , f   x dx 
x
a a  a 
 b b 
 

  k f   x dx k f x dx  
,
 a a 