Page 250 - Khoa Sư Phạm | Kỷ yếu hoạt động khoa học Khoa Sư phạm 2016 - 2020

b b Trường hợp 5.1. Nếu k  0 k thì

 
kf ( )dx     k f  ,x k f x    dx
x
a a . k f   k f ,0 . Khi đó vế trái
 b b   
 

  k f   x dx k f x dx  b b
,
a  a   kf ( )dx    k f  ,0x    dx
x
 b b  a a
 

  k f   x dx k f x dx   .
,

b
 a a     b k f   x dx , 0dx


Mặt khác, tính vế phải (3.3) và kết luận a  a 
b  b b   b b 


k f ( )dx    , k k     f   x dx , f   x dx    k f   x dx , 0dx  
x
a a  a   b a a 
 b b   k f ( )dx .

x
 

  k f   x dx k f x dx  
,
 a a  a

b Trường hợp 5.2. Nếu k  0 k thì

  kf ( ) .  0,k f  . Khi đó
d
x
x
a . k f   
Trƣờng hợp 4.   0f x   f  ,x  b kf ( )dx  b  0,k f   x dx
 

x
 x [ , ]. a a 
a
b


b
Trường hợp 4.1. Nếu k  0 k thì    b 0 , k f   x dx



x
d
. k f    0,k f   . Khi đó a  a 
b

,
b b    b 0dx k f   x dx  
 kf ( )dx    0,k f   x dx a  a 

 
x
a a b

x
 b b   k f ( )dx .

  0 , k f   x dx  a
dx
a  a  Vậy ta có điều phải chứng minh.
 b b  Ta nhận thấy tính chất này đối với

  0 ,k f   x dx 
dx
a  a  trường hợp cổ điển được chứng minh
b đơn giản, nhưng đối với hàm khoảng và

 k f ( ) .
x
dx
a hệ số khoảng hằng, việc chứng minh rất
Trường hợp 4.2. Nếu k  0 k thì phức tạp.

. k f    k f ,0  . Khi đó Ta minh họa một ví dụ sau đây cho
b b (3.3).
 kf ( )dx    k f  ,0x    dx Cho
x
2
a a k   2,1 , ( ) [ , ],f x  x x x [0,1].
 b b 

  k f   x dx , 0dx  Ta có vế trái
a  a  1 1
2

x
x
x
 b b   kf ( )dx   [ 2,1].[ , ]dx

  k f   x dx , 0dx   0 0
 a a  1 1 1



]
x
,
x
b   [ 2 , ]dx  [  2xdx xdx

 k f ( ) . 0 0 0
x
dx
a x 2 1


[ x  2 1 | ] [ 1, ].
1
| ,
Trƣờng hợp 5.   0f x   f  ,x 0 2 0 2
 x [ , ]. Và vế phải
b
a
1 1 1 1 1


 f ( )dx  x [ x dx xdx ] [ , ] nên

2
,
0 0 0 3 2